微积术的发现是人类文化史上一件划时期的大事。倘若没有微积，我们不能想象近代的科成何现象。往常我们学习微积，一个中材的人，便可于短期内明了其原理。但是在发现的时分，即便极大的天才，亦须惨淡经营，暗中探求，才干取得门径。在我们曾经应用了微积措施二百余年后的今日，追溯既往，调查一下它的发现的经过，便知前贤缔造的艰难，远非想像所及。 微积术的发现者，普通公以为牛顿（1642-1727）与莱布尼兹（1646-1716）二人。但照意大利数学史家Castelnuovo的研讨[指Guido Castelnuovo的Le origini del calcolo infinitesimale nell'era moderna——小编注]，微积术的展开，从希腊时期不时到近代，是一个绵续的整体，牛顿与莱布尼兹二氏不外在其中走了最重要的一步。这话并没有估低了他们的功劳。在他们以前，一切的微积观念，是零星的。有了他们的工作，微积术才成为一个系统，才干应用到天文、物理、和一切其他科学。 >>>> 撰文 | 陈省身 一 牛顿以前的微积观念 用近代的说法，微积的对象，是讨论两个变数间的函数关系。假如采取几何表示，则微分学的基本问题，是作曲线的切线，而积分学的基本问题，是求曲线所包的面积。 请求曲线所包的面积，最容易想到的一个措施，是把面积分红小块，将每小块用不时线形替代，而求各该直线形面积之和。块数愈多，则此和数与所求面积相差愈小。这措施叫做逼尽法（Method of exhaustions），古代的希腊人曾经知道，用圆周的内接与外切多边形的面积来求圆周率，和亚几默德[即阿基米德——小编注]之求抛物线的面积，都是著名的例子。 一个与微分学有关而为古代希腊人所知道的观念，是所谓无条约数（Incommensurable quantities）。从有条约数到无条约数，需求一个无量的手续，即有极限的观念在内。对这观念给一个牢靠的基础的是Eudoxus，约在纪元前四百年。 微积术在近代的先驱者，最主要的，当推意人B. Caralieri（1598-1647），法人P. Fermat（1601-1665），英人J. Wallis（1616-1703），与I. Barrow（1630-1677）。 Caralieri是Galileo的学生。他于1635年首创不可重量的措施（Method of indivisibles），他假定线由点组成，体与面则各由面与线组成。点、线、面即分别为线、面、体的不可重量。将此类不可重量相加，所得就是长度、面积、与体积。应用此法，他处置了若干简单问题，并证明关于旋转曲面的的Pappus定理。这是一个粗浅的积分法，较逼尽法为有力。我们往常看他的理论，自然觉得很不紧密。但是，我们从下文能够知道，微积分在最初的阶段，也是一个很粗疏的系统。 Fermat，（1636）的贡献，主要在于微分方面，他创一个求函数的极大值与极小值的措施；用近代的说法，此法相当于使函数的微分为零，此法他并推行以求曲线的切线。所以若干法国的数学家，包含J. L. Lagrange，认他是微积术的首创者。 离微积术的发现愈近，相类的例子就愈多。Wallis于1655年出版一书，其中处置了若干长度，面积与体积的问题。他的措施很受Caralieri的影响，他的书中也屡屡表示关于Caralieri的谢意。Barrow是牛顿的先生，数学史家都称誉他是一个天才的数学家。他于1669年出版一书，其中论及由两变数的微分及曲线所成的三角形，即所谓“Barraw的微分三角形”。他并且知道积分与微分是相反的手续，但未应用此结果来处置任何问题。他的工作自然会对牛顿发作严重的影响。 除了以上所举者外，其他如J. Napier，J. Kepler，G. P. Roberral，Torricelli，都有相类的结果。在此不再罗列了。 从以上所说，我们不由要问：牛顿以前已有这许多结果，然则牛顿与莱布尼兹的工作是些什么呢？关于此问，一个英国的科学史家有一个很好的答案，他说:“他们的工作，正是使我们问这个问题。在他们以前，这些结果是零星的。他们最先认出，这些观念的组合，能够成一个庞大的系统，来处置科学上许多重要的问题。” 二 微积术的发现的经过 牛顿发现微积术的时间，大约在1665年左右，当他二十四岁的时分。那年英国发作大疫，剑桥大学暂时停课，他就回到故乡Woolsthorpe去，直到1667年才返剑桥。微积的观念大约是在他乡居的时分萌芽的。在他的一篇稿子中，日期是1665年十一月十三日，他处置了以下的问题：“已知若干个动体所经道路的关系，求其速度间的关系”。在此稿件中尚处置了若干个相关的问题，如求曲线的切线等。这些观念，在他1666年十月的一篇稿子中更为成熟。此时氏已能处置十二个问题，其中最重要的是下列的几个：
从这两篇稿子，可见1665与1666两年中牛顿已有了微积分的基本观念。 但是这些结果牛顿当时并没有通知其他的人。直到1669年六月，他把他的一篇论文，题目叫做：“包含无量多项的方程式的剖析”的，交给他的先生Barrow，他的措施刚才为人所知道。Barrow看了此文，自然大为赞扬，就转告皇家学会的秘书Collins，Collins又通知了一些别的人。但这篇文章到了1711年才发表。 牛顿当时所用的名词与符号，与往常所用者不同。他称他的措施为流数术（Method of fluxions）。一个量随时间的变动而变者，称为流量（Flowing quantity），其在一短时间的增加叫做Moment，增加的速度则叫做流数（Fluxion）。假如流量x，则其流数是
，其moment是
。他的流数符号往常力学书中尚多采用。 莱布尼兹研讨微积术较牛顿为晚。他的研讨大约是1673年左右开端的。两年之中他处置了微积分上的主要问题。莱氏有一篇遗稿，所标的日子是1675年十月二十九日，他这稿内所倡议的微分积分的符号，沿用迄今。这是微积术展开史上很可留念的一个日子，由于莱氏的符号关于微积术的展开有很大的功劳。 在莱氏有了微积分观念的九年以后，牛顿发现流数术的十九年后，1684年，莱氏发表第一篇关于微积术的论文。那论文载在一种杂志叫做Acta Eruditorum上，全文只六页。文中的名词与符号即是往常所用者。莱氏不愿意他人懂得他的措施，所以写得极难懂。文中包含微分学的若干个基本运算定则，并处置了一个光学的问题。 这个时期的微积只是一组有系统的措施。关于它的基本观念，还没有一个严厉的基础。所以在莱氏的论文中，关于一个变数的微分，究竟是无量小抑是有限数，他并无肯定的见解。 许多往常觉得简单的问题，在当时都是经过一番苦心才得到的。好比说，两个变数之积的微分，能否等于它们的微分之积：这样一个问题，莱氏须经过多日的思索，才干回答。关于往常学微积分而觉得艰难的人，这故事或者是一个安慰。 三 关于微积术发现的争论 微积术的发往常科学史上是一件不磨的伟绩。适巧两个特出的天才，并世降生，同时开了这秘钥，应该是值得欣幸的。无法发现者的荣誉太大了，一个科学家到了这个关头，常常也难抱着推让的态度，再加上了国度的成见和几个胸襟狭隘的朋友的挑搧，牛顿和莱布尼兹二人关于发现的权益，遂起了一场争论。吾人今日缅怀前哲，犹有遗憾，试略言其经过。 莱氏发表他的微积术论文以后，自然大受赞扬，欧洲大陆上的人都公认他为微积术的发现者。牛顿的友人就很抱不平，一场争端已不可免。直到1699年，一个住在英国的瑞士人，叫做Fatio de Duillier的，在英国皇家学会发表的一篇数学论文里面应用了微积的措施，并且加上了这样一段话：
这种悍然的应战，自然会惹起一场争论的。 关于此我们须指出，牛顿和莱布尼兹的关系，一向是很友善的。为了微积术的问题，两人会于1676年左右经过两次信。所以他们相互都知对方的结果，大约是没有问题的。在牛顿的名著Principia(1687) 中，他提到了莱氏的微积术，并阐明与他的流数术大致相同。 以为莱氏有剽窃牛顿的嫌疑的依据，大约有两点：第一、莱氏会于1673与1676到过伦敦两次，认识了若干英国学术界人士，连Collins在内，所以有看到牛顿的原稿的可能。第二、莱氏在他的第一篇关于微积术的论文中，当处置了若干问题以后，会说：“这只是一种超绝的数学的开端。这种数学可用到最艰难与最美丽的问题上。假如没有微分学，或者一种类似的措施，这种问题的处置不能有如此的容易”。这段话中所谓相似的措施，若干人以为就是指牛顿的“流数术”。 我们事后加以判别：以上两个理由都缺乏证明莱氏的微积术是剽窃牛顿的。 莱氏读了Fatio de Duillier的论文后，自然以为凌辱。便写信向牛顿申述。信中并指出牛顿会在Principia中招认他亦为微积术的发现者。这信牛顿没有回答。Fatio de Duillier写了一封复信，Acta杂志未给发表，争论遂暂时中止。 到了1704年牛顿出版他的光学，书中包含两节数学，其一关于流数术，其一关于三次曲线的分类。次年一月Leipzig Acta刊登此书的一个书评，其中有这样一段：
我们需求指出，Fabri是一著名的剽窃家，所以这段话很有隐讽牛顿为剽窃者的企图。牛顿自然也这样想，并且狐疑莱布尼兹即是该书评的作者。为顾全他的荣誉就作文反驳。恰巧此时，牛顿得到一个数学家叫做Keill的辅佐。Keill笔锋尖锐，关于争辩，很能给牛顿一些裨助。1710年Keill作一文，说牛顿发现了微积术，后来莱氏发表时将符号改了。莱氏读后大愤，把这问题提到英国皇家学会，请求Keill负疚。该会派Keill作一讲演，讲演中所说对莱氏仍极不利。莱氏遂益怒，再函皇家学会，央求遏止这类“卑鄙的行动”。 从此事态益见扩展，到了1712年三月六日皇家学会委派一委员会调查此事。次年一月委员会的报揭露表。同一切正式的讲演一样，讲演中坚持一模棱的态度。讲演中的结论有二：一、莱氏的微积术与牛顿的流数术实质上是一样的；二、牛顿是第一个发现的人。至于最重要的问题，即莱氏能否剽窃牛顿，讲演中避而不谈。 这讲演自然处置不了争端。一场猛烈的论争，从此展开。狭隘的国度认识，不正确的荣誉观念，使得双方都采取不甚合理的伎俩，例如，出应战式的数学问题，发表匿名信等。这场意气之争，直到1716年莱氏死后，才渐告停息。 这论争是科学史上十分不幸的事，其影响关于英国极不利。由于在此时期英国人愤而不读大陆上的数学作品。同时de l'Hospital，Bernoulli兄弟，Euler等正努力展开这门学问，他们的结果，英国未能立刻接受。所以这门学问在英国的展开，一度是相当迟缓的。 四 微积术的展开 在微积分术展开中最有功劳的，当推L. Euler（1707-1783），J. L. Lagrange（1736-1813），A. Cauchy（1789-1857），K. Weierstrass（1815-1897）四人。 我们曾经讲过，在牛顿与莱布尼兹手中的微积术，不外是一组有系统的措施，可用来处置一些问题的。这个时期可称为微积的直觉时期。要为微积术立一牢靠的基础，须对它的三个基本概念——实数、函数与极限——下一个明白的定义。这种努力，德国的数学家F. Klein称之为数学的算术化。 Euler关于上说的基本概念是很表狐疑的。他只把命分数称为“数”，非命分数他叫做“量”，两种数他并不一体看待。函数在他的书中有时是算式，有时是因变数，至与(-1) x 代表什么函数，在他是一个问题。关于极限观念，他也同样的不分歧。我们能够说，他只需此名词，并无观念。所以当他求得1+2+2 2 +2 3 +…=-1时，他觉得很奇特。 Lagrange开端了微积术的算术化工作。数关于他仍旧是一个所谓“明显”的观念。函数亦仍是算式，但系能够展成幂级数（Power Series）的算式。这是初步的剖析函数的观念。他采用级数的目的，大约是想避免艰难的极限观念。用了级数，则微商可定为级数中一次项的系数。在他的手中，级数的运算亦较严厉，所以他经常不用无量多项，而用一个余式（Remainder）来替代。 微积术的算术化，在Cauchy手里才有了长足的停顿。有了Cauchy以后，函数才不是算式，而是因变数，极限的观念，才有了牢靠的基础。由是积分乃为和数的极限，函数的连续性，无量级数的收敛，都可应用极限，下一个严厉的定义。他的工作，可总括为一个变数的函数论。他所未会处置的问题，是实数的定义与分歧收敛性的观念。由于缺乏后一观念，他将一无量级数逐项求积分，而得到了错误的结果。 Cauchy手中留待处置的问题，经Weierstrass而有了圆满的答案。从此数学上的一大门类所谓剖析数学才告树立，而微积术的算术化问题，才约略告一段落。 于此我们需求认清两点：第一、Weierstrass不外是此时期一学派的代表人物，同时的数学家，如Dirichlet，Dedekind等亦有极重要的贡献。Dedekind的实数论，特别是一件不朽的贡献。第二、若干问题固然处置了，因而而惹起的新问题却更多而更艰难。由G. Cantor的汇合论，到近代数学基础论者的Brouwer学派，正显现着一种绵续的停顿，其出路展开，当无止境。这些理论的导源，自然是微积术。 民国三十二年一月廿六日 昆明西南分离大学 来源：算法与数学之美 关注公众号了解更多 会员申请 请在公众号内回复“个人会员”或“单位会员 欢送关注中国指挥与控制学会媒体矩阵 CICC官方网站 CICC官方微信公众号 《指挥与控制学报》官网 国际无人系统大会官网 中国指挥控制大会官网 全国兵棋推演大赛 全国空中智能博弈大赛 搜狐号 一点号 |
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