《论无量》一文是希尔伯特在 1925 年 6 月 4 日在 Westphalian Mathematical Society 于 Münster 召开的一次留念 Karl Weierstrass （魏尔斯特拉斯）的会议上的演说, 发表在 Mathematische Annalen的 vol. 95 (1926), pp. 161-90 上。这里的文本是由 Erna Putnam 和 Gerald J. Massey 翻译成英文的、并收录在 Paul Benacerraf 和 Hilary Putnam 主编的文集《Philosophy of mathematics》中。此书第二版由剑桥大学出版社于 1964 年出版。中文译者是齐民友。 假如说今天的数学剖析在如何运用以无理数和极限概念为基础的演绎措施上、人们曾经得到完整的分歧；假如说以至在微分方程和积分方程理论中、哪怕是用到了各种极限的最有创意和最为多种多样的组合时、关于所得到的结果人们仍旧能得到完整分歧的认可, 这个令人高兴的状况, 首先应该归功于魏尔斯特拉斯的科学工作。由于他的透彻的批判性的结果, 数学剖析曾经有了稳定的基础。由于他说分明了许多概念, 也就消弭了当时在无量小计算中依旧存在的许多缺陷, 使得关于无量小不再有混杂的概念。这样, 由这个概念的混杂而产生的艰难就全部得以完整消弭。但是, 固然魏尔斯特拉斯给无量小计算提供了基础, 关于数学剖析的基础的争论依旧在继续。 这些争论之所以没有终止是由于无量、作为应用于数学中的概念、其意义历来没有得到完整的廓清。魏尔斯特拉斯的剖析经过把关于无量大和无量小的命题完整化成了关于有穷量的关系 [的命题。这几个字是中译者加的。——中译者注] 而完整不提无量量, 但无量这个词依旧出往常定义实数数值的无量级数和实数系的定义中、而级数和实数系由此就被看成了一下子就曾经同时存在、同时完成了的整体。 魏尔斯特拉斯在他的数学剖析基础的研讨中、以至在下述状况依旧无保存地而且重复地运用在原本不提无量概念状况下运用的逻辑演绎的方式。但往常他依旧还在运用无量的概念。例如他要去处置一切的（即 ）具有某种性质的实数, 或者要谈论存在一个（即 ）具有某种性质的实数。 这样, 无量的概念就在另一种外衣下出往常魏尔斯特拉斯的理论中, 从而逃过了魏尔斯特拉斯的批判关于无量概念在精确性上的请求。所以我们需求一劳永逸地处置的就是这种意义下的无量的问题。正如在无量小计算中的无量大和无量小的所谓无量、只不外是一种说法, 我们也必须认识到关于无量的演绎措施中那种一下子就曾经同时存在、同时完成了的整体的无量的整体、也只不外是一种幻象。正如关于无量小量的运算应该被代以关于有穷量的运算、并且给出完整一样的结果、招致一样漂亮的方式关系一样, 普通地说, 在往常这种状况下、把无量代以有穷的过程也应该得出完整一样的结果；也就是说应该能够应用同样的证明链条和措施、得出完整一样公式和定理。 我的理论的目的是一劳永逸地树立起一切数学措施的确定性。这是一项以至在无量小运算的批判时期也没有完成的工作。所以这个理论应该完成的是魏尔斯特拉斯希望用他的数学剖析基础来抵达的目的, 而在朝向这一目的的方向上他曾经走出了重要的一步。 但是, 由于没有廓清无量这一概念, 所以就耽搁了取得更宽广的视野的时间。仔细的读者会发现、数学文献中充溢了蠢话和荒唐、其源头就在于无量的概念没有得到真正的廓清。例如有一些作者坚持以为在严厉的数学证明中只答应用有穷次演绎、似乎有什么人曾经完成过无量次演绎一样。 一些我们以为曾经被放弃了的反对意见依旧以不同方式重现。近年来就发作了这样的事情：引入一个概念固然确有可能不冒风险, 也就是不会发作矛盾, 以至能够证明：引入某个概念时固然不会发作矛盾, 这些概念却并不因而就真正有了依据。有人在反对复的虚数时就指出"引入复的虚数的确没有招致矛盾, 但是引入复的虚数依旧是没有依据的, 由于虚数并不存在"。复的虚数并不因而就得到了真正的依据。这不就是曾经被放弃了的反对意见依旧以不同方式重现的一个例子吗？在引入某种测度时, 除了证明其相容性以外, 引入它能否有意义的问题、必定随同着某种丈量过程能否胜利的问题。事实上, 在数学里和在任何中央一样, 作出一个决议时、胜利与否是最高的法庭。 另一些作者则似乎是怕鬼的人, 他们在还没有给出任何命题前、就是在觉得世界里还没有看到一个命题前、就以为这个命题具有"相容性功用", 也就是把具有相容性作为一个特殊的假定。我则总以为只需在假定一个命题在经过演绎抵达另一个命题之后才会发作矛盾。以为事实和事情自身就有矛盾、在我看来是思想不紧密的极好的例子。 以上的评论只不外是为了肯定一个事实、即关于无量的天性作出肯定性的廓清、是人类聪慧的荣誉自身的请求、而不只是关乎特定的科学兴味范畴的事情。 从无法追想的时期起, 无量就比任何其他问题愈加扰动人类的感情。简直没有任何其他的思想像它那样富有成果地刺激了人类的心智。但是, 也没有任何另一种概念比它更需求廓清。 在转到廓清无量的天性这项工作之前, 我们先要简明地说一下我们往常赋予无量的实践意义究竟是什么。我们首先来看一下我们从物理学能够学到些什么。我们关于大自然的时间和物质的第一个朴素的印象就是其恒久性、亦即连续性。 当我们思索一块金属或者一定体积的液体时, 我们会得到一个印象、就是它们能够无限地分割, 而其最小的部分也和它的整体展示了相同的性质。但是每当研讨物质的物理学措施充沛精确化以后, 科学家们一定会遇到可分性的界线, 这界线并不是来自对它们的研讨有什么缺陷、而是来自事物的天性。由此, 我们以至能够把现代科学的这个趋向解释为从无量小的概念下解放出来。我们以至能够断言：能够把那个老的原理 natura non facit saltus[拉丁文, 意义是大自然不知道腾跃——中译者注] 用相反的"自然界知道腾跃"来替代。 我们的常识是：一切的物质都是由称为"原子"的微小的建筑基石构成的, 它们的组合和联络产生了宏观物体的全部多样性。但物理学并未中止于物质的原子学说。上世纪末年呈现了名义上看起来奇特得多的电的原子学说。在那以前, 电曾被想象为一种流体, 曾经思索过把电作为连续的主动作用的中介这样一种模型。但那时就发现了电是由正和负电子构成的。除了物质和电以外, 在物理学中还有一种守恒律对之也成立的实体, 那就是能。但是也证明了以至能量也非无条件地允许无量可分性。普朗克发现了能量量子。所以, 在理想中并没有发现允许把理想无量地分割为无量小量的那种平均的连续统。对连续统作无量的分割是一个仅只存在于我们的思想中的操作。事实上它只是我们关于自然界的察看、和物理学和化学实验、的可疑的结果。 我们可能在自然界里发现无量的第二个中央是在把宇宙看成一个整体的时分。这里我们需求思索宇宙的广袤以肯定它能否包含了无量大的东西。但是在这里现代科学特别是天文学又一次重新提出了这个问题、而且并不是用骗人的形而上学的思辨、而是基于实验、和应用自然界的规律来处置这个问题。在这里也能找到关于无量的严肃的反对意见。欧氏几何一定会引导到空间为无量的公设。欧氏几何固然是一个相容的观念体系, 但不能由此得到理想的空间中适用的就是欧氏几何的结论。理想的空间能否欧氏空间只能经过察看和实验来处置。用地道的思辨来证明空间的无量性包含了严重的错误。空间的某一部分之外依旧是无量的, 这是一个事实。无界性和有穷性并不矛盾。在所谓椭圆几何学中, 数学研讨给出了有穷宇宙的一个自然的模型。在今天, 人们曾经放弃了把欧氏几何只看成是来自数学或哲学的思辨, 而是来自如下的思索。这些思索原本和宇宙的有穷性并无关系。爱因斯坦证明了必须放弃欧氏几何。他以他的引力理论为基础来处置宇宙学问题、而且指出了有穷宇宙是可能的。此外, 天文学的一切结果都与宇宙合适椭圆几何学这一公设相容。 我们曾经在两个不同的方向上肯定了宇宙是有穷的, 就是肯定了它在无量减少方向上、以及它在无量放大方向上都是有穷的。前者是说：由于原子学说、在物质的结构上不会呈现无量小, 后者则说：由于天文学的展开, 空间结构也不会呈现无量大, [中译者在这里作了一些文字的弥补和修正——中译者注]。固然如此, 实践的状况却是：在我们的思想中, 无量还应当有其合理性的依据、这个合理性的依据将起不可或缺的作用。往常我们就来看一下在数学中究竟是什么样的状况。我们先来讨论人类心智的最纯真最单纯的产物、即数论。在极端丰厚的数论的初等公式中我们恣意取其一个, 例如 由于我们能够取恣意整数为 n, 例如取 n=2 或者 n=5, 所以这个公式隐含地包含了 「无量多个」命题。关于一个公式正是这一点显现了其特性。正是这一点使得一个公式能够表示一个算术问题的解如下： 等等。这些公式能够简单地从数值上用计算来考证、而其每一个并没有特别的意义。 在重要而且富有成果的 「理想元素」措施中, 我们会看到 「无量」的概念还孕育了一个完整不同、而且十分共同的想法。 「理想元素」措施以至在初等的平面几何中也会用到。平面上的点和直线本是很真实的、真正存在的对象。适用于它们的公理之一是下面的 「衔接公理 [ 「希尔伯特在《 「几何基础」 》一书中称为」 分离公理」(axiom of incidence).——中译者注**]**：经过两点存在一条且仅有一条直线。又以为两条直线最多只需一个交点。但是, 并没有这样一个定理说两条直线一定相交于某点, 由于这两条直线可能是平行的。我们也知道经过引入理想元、即无量长直线和无量远点, 就能够使两条直线一定交于某一点、而且只能交于一个点这个命题恒为真。这些理想的" 「无量」"元素的益处是使得这一组分离公理尽可能地简单易懂。此外由于往常点与直线这两个概念之间有了对称性, 就能够得出十分富有成果的几何学的对偶性原理, 我们在代数中也会遇到应用理想元素的另一个例子。这就是是所熟习的**复虚数量。**能够用它来简化关于一个方程的根的存在与个数的定理。 正如无量多条直线、细致说来就是那些平行的直线能够用来在几何学中定义一个理想点一样、某些无量多个数也能够用来定义一个理想的 「数」。理想元素的这个应用是其一切应用中最聪明的一个。假如在一个代数中系统地应用这个原理, 就能够得知同样简单的除法规律关于整数 1, 2, 3, 4, ......也都成立。我们也就进入了高等数论的范畴。 往常我们来到了在数学中树立得最具有美学意义、最为精巧的范畴, 即是剖析。你们都知道 「无量」在剖析中起了指导的作用。数学剖析在某种意义上就是无量的交响乐。 在无量小计算中取得庞大的进步主要是由于对无量多个元素所构成的数学系统中止操作。但是一旦以为无量就是很大、而这种认识是很有可能的、就很快会呈现不相容的中央, 而这种不相容的中央我们在古代狡争辩者哪里就部分地遇到过, 就是所谓无量小演算演算的悖论。但是认识到许多在穷状况成立的定理（例如部分小于整体、最大值和最小值的存在、在和和积中交流各项的次序等等）都不能直接而且无限制地推行到无量的状况、认识到这一点是一个庞大的进步。我在本文开端处就提到过, 这些问题主要归功与维尔斯特拉斯的尖利性、曾经被完整弄分明了。今天数学剖析不只在它的范畴里是绝对牢靠的, 而且曾经成了应用无量的实践工具。 但是, 仅只需数学剖析并没有为我们提供关于无量的天性的最深化的洞察。这个洞察是由另一个学恐掷唰完成的, 而这个分支更接近一种普通的哲学的思想方式、而设计出这种方式正是为了关于一大类关于无量的问题给出一种新的视角。这个学恐掷唰就是汇合论。它是由康托创建的。本文中我们只关注这个学科的最共同最有发明性的部分, 而这一部分构成了康托的学说的中心、就是 「超穷数」的理论。我以为这个理论是数学天才最精巧的产物, 是人类的地道心智活动的最高成就之一。那么, 这个理论是什么呢？ 有些人想简单地描写康托所引进的新的无量概念, 他们可能说我们在剖析数学中讨论的无量大量和无量小量只不外就是极限的概念、是变更着和发作着的什么东西, 也就是 「潜无量, 「但是这种无量并不是」 真实的」无量。当我们把 1, 2, 3, 4, ......作为一个一下子完成了的整体时、或是在把一个区间看成一个同时存在的、一下子完成了的整体时、我们才遇见了真实的 「无量」。这类无量称为 「实无量」。 弗雷格和戴德金这两位在数学基础上最为知名的数学家、独立地用实无量来给出数论的基础, 他们把正整数看成是与直觉和阅历都无关的。但是他们给出的这个基础仅仅基于地道的逻辑, 只用到地道逻辑的推演。戴德金以至走到了这样的地步、即以至不从直觉导出有穷数、而是从无量汇合的概念逻辑地导出有穷数。系统地展开了实无量概念的是康托。思索上面给出的两个关于无量的例子, 就是。
从这两个汇合的大小关系来看待这两个例子是很自然的事。但是, 这样的处置却揭露了一些今天的数学家们都熟知的结果。由于当我们思索 0 与 1 之间的一切有理数的汇合时, 也就是思索一切的这些分数 1/2, 1 /3, 2/3, 1/4, ..., 3/7, ...的汇合时, 我们就会留意到——假如仅仅从汇合的大小的观念来看——这个集兼并不比第一个例子中的一切正整数的汇合更大。所以我们说有理数的汇合也是能够依照通常的措施来排列次序的、或者说是 「可数」的。一切正整数的各阶的根的汇合也是可数的, 关于一切的代数数的汇合状况亦复如此。第二个例子也与此相类, 但是呈现了愈加令人吃惊的状况：一个正方形或正方体中的一切点的汇合也不比的区间 0, 1 中的一切的点的汇合更大。一切连续函数的汇合也是这样。当您第一次遇到这样的状况时, 您可能会以为从汇合大小的观念来看就只需独一的一个无量。错误, 的确错误!1 和 2 这两个例子中的汇合、用我们通常的说法是 「不等价的」（non-equivalent）。更方便的说法是, 第二个汇合是 「不可数」的, 由于它比第一个汇合更大。在这里, 我们遇到了康托的理论中新的更能表示其特征的东西。一个区间里的点不能用通常的措施来计数, 就是不能排列得象 1, 2, 3,......那样。但是, 我们既然曾经招认实无量, 我们就没有必要中止于这两个例子。当我们曾经对 1, 2, 3,......中止了计数后, 我们就能够把这些曾经排列计数了的对象以为是一下子就同时存在、但是具有特殊的次序的无量汇合。假如我们像康托那样称这个汇合为具有特定的型**[ 「精确些说是」序型**。——中译者注**]**为 的次序。然后又自然地计数下去, 得到 直到 、亦即 再往下就有 , 亦即 , 再往下就有 , 等等。 最后我们就会得到下面的表： 康托就是这样造出了次序最靠前的一批 「超穷数」(transfinite numbers)、康托也称它们为 「第二类数」(numbers of the second class)。. 我们之得到它们只是由于把计数推行到通常的可数无量之外, 这是通常的有穷计数的自然的、独一肯定的相而且容的推行。由于迄今为止我们只是计数到一个汇合的第一个、第二个、第三个、......元素, 往常我们还要计数其第 个、第 个、......、致使第 个元素等等。 得到了这样一些展开式以后, 我们就会想、用这些超穷数能否真正能够来对一切那些不能用通常措施计数的汇合也中止计数？ 康托在这些概念的基础上相当胜利地树立和展开了超穷数的理论、并且发明了超穷数的完整的计算。这样由于弗雷格、戴德金和康托的赫拉克勒斯**[ 「Hercules, 希腊神话中鼎力神, 他完成了十二项被以为不可能的业绩, 包含挽救了普罗米修斯。——中译者注」]**式的协作, 无量成了王者, 享遭到取得巨大胜利的统治者的光彩。它振翅冲天, 抵达了令人眩目的高峰! 但是, 反对意见也不少见。事实上这些反对意见以一种十分富有戏剧性的方式呈现。它的到来完整相似于关于无量小计算的反对意见的呈现。数学家们在发现新的重要结果的欢乐中关于他们的演绎法的适用与否简直完整没有留意到。但是, 只需应用了当时曾经常见的定义和演绎措施, 矛盾就逐步呈现了。这些矛盾、即所谓汇合论的悖论固然一开端还只是零散的, 却逐步变得愈加尖利、愈加严重了。特别是由策梅洛和罗素所发现的那一个矛盾、在为数学界周知以后、产生了毫不含糊的灾难性的结果。面对着这些悖论, 戴德金和弗雷格完整放弃了自己的意见后退了。戴德金在经过长时间的犹疑以后才允许发行自己的划时期的名著《 「数的意义」》（ Was sind und was sollen die Zahlen）的新版。弗雷格则不得不在一篇后记中招认他的著作《 「算术的规律」》（ Grundgesetze der Arithmetik）是错误的。康托的学说也从各个方面遭到攻击。这个反响是如此猛烈、以至数学中最简单、最重要的演绎措施都遭到了要挟, 对它们的运用也简直被宣布为分歧理的。旧的次序当然也有维护者。但是他们的维护战略太过于脆弱无力, 而且在最关紧要之处历来没有构成过统一的意见。关于这些悖论提出了太多的弥补措施也太过于杂七杂八。 得到公认的是：在遇到悖论时呈现的状况是不可容忍的。试想一下, 每个人在数学中所学到、所用来教学的、所应用的定义和演绎措施、这些原来是谬误和肯定性的模范、往常居然会招致荒唐!假如数学的思想都是有缺陷的、我们又到哪里去寻求谬误和肯定性呢？ 但是还是有一种令人完整称心的避免这些悖论而又不背离我们的科学的措施辅佐我们找到出路、通知我方向。这个措施就是一种愿望和态度, 其要点有如下述：
很明显, 这些要点只需在我们曾经完整地阐明了 「无量的实质」以后才干完成。 我们曾经看到, 在理想中不论求助于什么样的阅历、察看、和学问、都不能找到 「无量」。难道关于事物的思想会与事物自身有这么大的区别吗？难道思想的过程会与事物真实的过程如此相异吗？总之一句话, 思想能够如此远离理想吗？难道还不分明, 当我们觉得自己曾经在某种意义下——就是在以为理想世界中存在某种极大或极小的尺度的意义下——得到了无量时, 其实我们只是被勾引蜕化到这样的地步？ 难道是 「实地的」（material）逻辑演绎在应用于真实的事物或事情时是在以某种方式诈骗我们、或者让我们只能摇摇晃晃第走路吗？ 不是!实地的逻辑演绎是不可少的。只是在我们在作恣意笼统的定义、特别是在作触及无量多个对象的定义时、实地的逻辑才会诈骗我们。问题在于：我们是在这些状况下分歧法地运用了实地的逻辑、就是在关于运用实地的逻辑所必须的前提条件没有给与足够的留意时、实地的逻辑才会诈骗我们。在认识到有这样一些必须思索的前提条件时, 我们发现我们和一些哲学家是分歧的。这里特别是讲的康德。康德的学说以为, 数学处置的是这样一种事物、它们是独立于逻辑的——而这是康德的学说的一个不可少的部分。所以数学绝不可能仅仅以逻辑为基础。因而, 弗雷格和戴德金以逻辑为数学的基础的企图是一定会失败的。 思索通常的 「有穷主义的」（finitary, or finitismic）数论的天性和措施, 它肯定能够从数值结构经过实地的思索得出, 但是数学肯定不只是数值的等式, 也肯定不可能仅仅归结为数值的等式。当然, 我们依旧能够争辩说数学是一种工具, 假如把它用于正整数就会给出正确的数值等式。但是即令是在这样的状况下, 我们依旧需求彻底地研讨这个工具的结构。为了做这样的研讨我们手上只需用于构成在数论中导出数值等式的同样的、细致的、实地的有穷措施。这样做, 科学上的请求是能够满足的、也就是说可能得出一个地道直觉的、有穷的道路——也就是我们取得数论的谬误的道路——这条道路会给出一种洞察、足以保障这些数学工具的适用性。 我们来更认真地思索数论。在数论中我们有如下的数值符号 由于它们都是由符号 构成的, 所以能够直觉地辨识出来。作为我们的主题的这些数值符号自身并没有什么意义。但是以至在初等数论中, 我们还需求一些自身就有意义的其他符号、以便促进交流、通告他人；例如用符号 作为数值符号 的简写, 而用 作为数值符号 的简写。此外我们也要用 这些符号来通告和交流各种坤命题。用 来通告这样一件事实：当思索到 和 只是一种简写时, 和 其实是相同的数值符号, 即都是 相似于此, 则意在通告这样的事实：符号 亦即 比符号 亦即 更长；换句话说即后一个符号是前一个符号的真部分。 我们也运用字母 来作通告和交流。这样 通告的是这样一个事实、即数值符号 比数值符号 更长。从这个观念看来, 只不外是通告了数值符号 和数值符号 是同样的符号。这一个通告的内容也能够用实地的演绎来证明。说真实的, 这种直觉的实地演绎还能够走得更远。 但是我要给出一个把这个直觉的实地演绎剥离掉的例子。。我们往常已知的最大素数是 39 位数 应用著名的由欧几里得提出的措施, 我们能够给出一个完整在有穷框架下的证明：在 和 之间, 至少存在一个新的素数。由于依照一个应该归功于欧几里得的措施我们能够证明这个定理, 所以这个结果我们在下面将称为 「欧几里得定理」。这个证明在有穷框架下完整有效, 即有以下的命题；在 和 之间, 「一定存在」至少一个新的素数。这个命题自身完整合适于运用有穷的处置措施, 「一定存在」一语只不外是另外一个命题" 或 或 , 或 一定是一个素数"的缩写。进一步, 下面的说法显然说的是同一回事： 「一定存在」一个素数合适以下两个条件：
但是这样做将把我们引导到一个只表示欧几里得定理一部分的定理, 即 「一定存在」一个 的素数。固然这个定理就其内容而言比欧几里得定理要弱得多——它所断言的事实仅只是欧几里得定理所断言的事实的一部分；——固然从欧几里得定理转换到这个定理是没有坏处的, 这一个转换却触及到一个事实：假如把一个部分的命题从上下文孤立出来成为一个独立的命题、就可能会落入超穷性的范畴。 怎样会发作这样的事呢？由于我们有了一个存在性命题、 「一定存在! 「事实上, 欧几里得定理还有一个相似的表述、但在这个这个表述里, 这个」 一定存在」我曾经说过、只是下面的命题"或者是 或者是 , 或者是 或者是 为一素数的缩写"——这就似乎我们能够把"或者是这一块小石头、或者是这一块、...、或者是这一块是红的"这句话换一个简明说法："在这些小石头中 「一定存在一块」红色的小石头"。如像"在各种对象的一个有穷整体中、或者是这一块 「一定存在」一个具有某种性质的对象"这样的命题完整能够适用有穷主义的处置途径。但是, 如像" 或者是 、 或者是 、或者是 ......（ad infinitum 拉丁文：直到无量）具有某种性质"这样的命题自身就是一个无量的逻辑乘积。关于这样的命题、除非给出进一步的阐明、除非当心、是不答应像在微积分中那样从有穷乘积推行到无量乘积的。这样的推行通常都会堕入毫无意义的境地。 从有穷主义的观念看来每一个形如" 「一定存在」一个具有某种性质的数"的存在命题、普通地却只是作为某个命题的部分命题才有意义的, 就是说它只是被看作一个更肯定的命题的一部分时才有意义。但是, 更普遍的命题的比较精确的陈说、在许多状况下是没有必要的。 在剖析一个其内容不能被表述为一个 「有穷的析取式」(析取就是 disjunction, 也就是逻辑衔接词'或'、其记号通常是 ) 时, 就会遇到无量。相似地, 承认一个普通的命题、就是触及无量多个数值符号的命题、也会得到一个超穷的命题。例如说, 假如 是一个普通的数值符号, 则 是普遍为真的, 而从有穷主义的视角看来是 「不能够承认的」。用下面的见地来看就更分明了：思索到这个命题不能够解释为恣意多个数值等式用"和"（即逻辑连词'与'、其符号为 ）衔接而成、而只能解释为一个假定性的判别、即判定在给定一个数值符号时某事成立。 所以, 从我们的有穷主义观念看来, 关于我们刚才得到的那种含有一个恣意的数值符号的等式, 我们既不能证明它关于每一个数值符号都成立, 也不能用一个反例来给以反证。反证法的运用要依据排中律, 而这就等于预先假定了这样一个 「普遍适用」的命题是能够承认的。 不论怎样说, 我们留意到下面的状况：假如我们停留在有穷主义的命题的范畴内, 事实上, 作为一个规律、我们就必定会遇到十分复杂的逻辑规律。假如" 「一定存在」"和" 「一切的」"这样的说法组合在一同, 假如它们存在于套装在其他表白式的表白式内, 这种逻辑规律的复杂性将是我们无法控制的。总之, 亚里斯多德所教导的、人们从开端思索时、又不时在运用的那些逻辑规律就不再成立了。当然我们能够去展开关于有穷主义的命题一定成立的逻辑规律。但是展开这样一种逻辑对我们并没有益处, 由于我们不想放弃运用亚里斯多德的简单的逻辑规律。再说, 哪怕有人用"天使的话语"（tongues of angel）讲话, 也无法不让人们去承认普通的命题、不让人们去作部分的判别、以及不准人们应用 tertium non datur.[拉丁文, 直译就是"没有第三者"：例如一个命题或为真、或为不真, 再没有第三种状况, 即为*tertium non datur.*所以, 这个短语就是排中律。——中译者注]。那么, 我们该怎样办呢？ 请不要遗忘, 「我们是数学家」, 而作为数学家、我们曾经处于一种不肯定、不保险的状况, 而挽救我们的则是十分聪明的理想元素措施。在本文一开端处我就举出过应用这个措施的杰出的例子。例如用引入 来保存代数的规律（例如方程的根的存在与个数的规律）；正如引入 「理想的因子」（ideal divisor）来保存代数整数的能够作因子合成性质（例如数 2 和 就有一个公共的理想因子, 固然并不存在真正的因子）；相似于此, 要想保存方式简单的通常的亚里斯多德逻辑, 就必须用 「理想的命题去弥补有穷主义的命题」。有一件很有讽刺意味的事情是：克隆尼克（ Leopold Kronecker, 1823--1891）如此猛烈反对的非有穷的演绎措施和他所热列推崇的库默尔（Ernst Eduard Kummer, 1810--1893）在数论方面的工作（克隆尼克称誉是数学的最高成就）是一样的、相应的东西 怎样来取得这种 「理想的命题」呢？有一个十分值得留意并且很有利于我们、又很有希望的事实。那就是为了得到这些理想的命题, 我们只需求以一种自但是且明显的方式、来继续那种在树立数学基础时所用过的措施就行了。事实上, 我们应该看到。以至是初等数学就曾经超越了直觉的数论的立场。我们所建造的直觉的、实地的数论并不包含用字母来中止运算的措施。在直觉的数论中我们运用公式只是为了中止传送和通告。字母则表示数值符号, 而等式则用来通告等式双方的数值符号是相同的这一事实。在代数中则不同。我们把含有字母的表白式当作独立的结构, 用以把数论中的实地的定理方式化。公式不再只是关于数值符号的命题, 而成了作为直觉的研讨的细致对象。我们一切的不再只是数论定理的实地证明, 而是从一个公式到另一个公式的契合肯定规则的推导过程。 所以, 哪怕是在代数学中就曾经发作了有穷主义的对象的扩展。迄今为止, 我们的对象仅仅是如像 那样的数值符号。只需它们才是实地处置的对象。但是数学的理论在代数中还走得更远。事实上, 当我们从有穷主义的观念看来, 一个公式就它所表示的事实而言是有效的, 例如 这个定理中 和 都是特定的数值符号。但是我们宁可不采用这样的通告和交流的措施、不再把这个公式的 和 看成是特定的数值符号、不再把这个公式看成仅仅是特定的数值符号（ 「[ 「这一段文字是中译者加的, ——中译者注」 ]」）、而是看成某种方式结构、这种方式结构和许多老的有穷主义的命题如 的关系在于以下的事实：当我们在此公式中用数值符号 来取代 和 、并且得到个别的有穷主义的命题时、其实经过了一个证明过程, 固然只是一个很简单的证明过程。由此能够断言如 这些符号以及刚才写出的公式、正如那些数值符号 和 一样, 其自身什么意义也没有。但是我们依旧 能够从它们 导出其他的公式, 而对这样的做法、我们将赋予一种意义、即是把它们解释为有穷主义的命题的通告与交流。对这个结论加以推行, 我们就把数学想象成两类公式所成的"库存"：其一对应于有穷主义的命题的有意义的通告和交流；其二就是不表示任何意义的、 「我们的理论中的理想的结构。」 那么, 什么是我们的目的呢？在数学中一方面我们有只包含数值符号的有穷主义的命题, 例如 等等, 从有穷主义的观念看来, 它们都是容易直接直觉到、了解到的东西, 用不着再归结于其他的东西。这些命题都是能够承认的、能够为真、也能够不真。关于它们, 能够不加限制地应用亚里斯多德逻辑、而无需特别地当心。 「无矛盾原理」（the principle of non-contradiction） 关于它们是成立的。所谓无矛盾原理（也叫无矛盾律）就是任何一个命题、以及此命题的承认不可能都成立。这也就是说 Tertium non datur（就是恣意命题或者其自身成立、或者其承认成立；说一个命题不真就等价于说它的承以为真）关于它们总是成立的；以上讲的是一个方面, 但是除了有这些不产生问题的初等的命题以外, 我们还会找到更多的有问题的有穷主义命题；例如我们还找到了不能分割成部分命题的有穷主义命题。最后, 我们还曾经引入过理想的命题, 使得通常的逻辑规律也能普遍适用。但是由于这些理想的命题、也就是这些公式并不具有任何意义、由于并不是有穷主义的命题, 逻辑运算就不能好像用于有穷主义命题那样、实地的用于它们。所以有必要把这些逻辑运算以及其证明加以方式化。这样的方式化就使得必须除了数学符号以外、还需求把逻辑运算也翻译到公式里面去、这些符号叫做 「逻辑衔接词」（logical connctives）, 其中常用的有 | 与或包含非 |
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