我对卷积的了解

来源：Mengqi's blog，作者：Mengqi。

在学习机器学习和图像处置的过程中，经常会遇到卷积这个概念。我每次遇到这个概念都有点似懂非懂的样子。有时分分明它的直观解释，但又搞不清公式中是如何表示的。究其缘由，还是我没有完整搞懂这个概念。维基百科上有一个动态图来演示这个概念，但关于我来说还是有些复杂。于是自己在网上找了很多文章来研讨，终于有了比较直观的印象，这里就趁热把我了解的解释一下，作为总结。

一、一维卷积

1. 数学定义

维基百科上，卷积的方式化定义如下：

2. 直观解释

先来剖析一下这个公式：f( x ) g ( x ) 表示 f ( x ) g ( x ) 的卷积，留意此处自变量为 x。 它是对 (∞,∞) 区间上对 τ 求积分，积分对象为两个函数的乘积： f( τ ) 和 g ( xτ )。等式右边只需 g ( xτ ) 提到了 x ，其他部分都在关注 τ 。

这样一个公式恐怕还是难以了解，接下来将经过一个例子来进行解释。

3. 例子

试想小明有一段时间每天都要去输液，输的药会在身体里残留直至失效，药效随着时间是不时衰落的。这里为烦琐起见，假定药效4天就失效，而且药效持续函数是离散的。如下图所示：

图中，横坐标为天数，纵坐标为药效。输液当天 (day=0) 药效为100%，第二天削弱为80%，第三天削弱为40%，第四天削弱为0。

往常先定义一些符号：记天数为 t ，每天输液的药量为 m ( t )，药效函数为 eff ( t )，小明身上残留的药效为 rest ( t )。其中药效函数：

下面察看一下小明从第一天起，连续三天输液后身上所留下的药效（假定每天药量固定为10）。

• 第一天，小明去医院输完液后，药效为10( rest ( t )= m ( t ) eff (0)。

  
  

• 第二天，小明去医院准备输液：输液前，他身上带着前一天的药效，此时曾经衰减为1080%=8，即 m ( t 1) eff (1)；输液后，他身上携带的药效为8+10=18( rest ( t )= m ( t 1) eff (1)+ m ( t ) eff (0)。

  
  

• 第三天，小明去医院准备输液：输液前，他身上带着前两天的药效，第一天的此时已衰减为1040%=4( m ( t 2) eff (2)，第二天的此时衰减为1080%=8( m ( t 1) eff (1)；输液后，他身上携带的药效为4+8+10=22( rest ( t )= m ( t 2) eff (2)+ m ( t 1) eff (1)+ m ( t ) eff (0)。

  
  

4. 剖析

从上面的剖析我们能够得到，小明第 t 天身上残留的药效 ，其中 n 为药效有效的最大天数。我们不难想象，但药效函数 eff ( t )为连续时，上式中的求和就应改为积分；而当药效能无限期有效时，上式中 n 就为∞。无限期有效的药效函数，所对应的 （本例中严厉来说应该是，这里推行到了(∞,∞))。推导到这里，基本就是维基百科上卷积的定义了。

5. 总结

我之前对卷积概念的困惑主要是由于对卷积的方式化定义公式的那个 τ 的意义了解错了，总以为 τ 是随着坐标轴变更的量。事实上，在上面举的例子中， τ 是作为沿着纵坐标遍历的量：它的作用是对「纵向」上，历次函数 eff ( t ) 在当前点( t ) 剩余量( est ( t ) 的求和。积分也是对纵向上的积分，而非横向上沿自变量的积分。

横坐标变更的量一直为 t ，而且在卷积中并没有明显表示出 t 的变更。

最后重新回想一下上面的整个过程：比较三天以来的表示图能够发现，假如我们以「当天」而不是第 t 天为参考的话，就会看到 eff ( t ) 随着时间是在向左平移（深蓝的线表示当天，前几天的线都在其左边），然后各天衰落后的药量剩余等于 eff ( t ) 值乘上初始的药量值，最后将各天的药量剩余求个和。整个过程的中心就是 「（反转），移动，乘积，求和」，这里面「反转」的概念也好了解，就是原本 eff ( t ) 是 「朝着右边」 走的函数， t =0, t =1,, eff ( t ) 是形容 t 天后的药量的，但是实践例子中我们是以当天为参考系，我们是在 「朝着左边」 看的，因而要「反转」。我以为这个「反转」是一个很自然的过程，不算是整个卷积的中心。此外，在计算机范畴，至少我接触到的图像处置、机器学习方面用到的卷积，其卷积核（就是例子中不时平移的函数 eff ( t ) 普通是对称的，所以这个反转的概念也不是那么必要。

二、二维卷积

1. 数学定义

二维卷积在图像处置中会经常遇到，图像处置中用到的大多是二维卷积的离散方式：

2. 图像处置中的二维卷积

二维卷积就是一维卷积的扩展，原理差未几。中心还是「（反转），移动，乘积，求和」。这里二维的反转就是将卷积核沿反对角线翻转，好比：

之后，卷积核在二维平面上平移，并且卷积核的每个元素与被卷积图像对应位置相乘，再求和。经过卷积核的不时移动，我们就有了一个新的图像，这个图像完整由卷积核在各个位置时的乘积求和的结果组成。

举一个最简单的均值滤波的例子：

这是一个3×3的均值滤波核，也就是卷积核

这是被卷积图像，这里简化为一个二维5×5矩阵：

当卷积核运动到图像右下角处（卷积中心和图像对应图像第4行第4列）时，它和图像卷积的结果如下图所示：

能够看出，二维卷积在图像中的效果就是：对图像的每个像素的邻域（邻域大小就是核的大小）加权求和得到该像素点的输出值。滤波器核在这里是作为一个「权重表」来运用的。

声明：公众号偶尔转载的文章出于非商业性的教育和科研目的供大家参考和讨论，并不意味着支持其观念或证明其内容的真实性。版权归原作者一切，如转载稿触及版权等问题，请立刻联络我们删除。

网站平台：www.posongbi.com