这个不定积分公式变更莫测，但很多人只知道它的递推方式 ...

余弦的整数幂，与正弦的整数幂的积的不定积分，是一个相当复杂的积分公式。而且它会有十分多的变更，说它变更莫测一点也不为过。很多人都只看到高数教材上的递推方式，并且以为，控制了递推方式就足够了。假如这样想的话，数学是很难学好的。

老黄这篇文章先给大家引见它的递推方式是怎样来的，再大约给大家引见一下，它有哪些变更方式。以后有机遇，再把各种变更方式的公式最终形态推导出来分享给大家。

将推导公式整理成高数证明题的方式如下：

若I(m,n)=∫(cosx)^m*(sinx)^ndx，则当m+n≠0时，证明：

I(m,n)=(cosx)^(m-1)*(sinx)^(n+1)/(m+n)+(m-1)/(m+n)*I(m-2,n)

=-(cosx)^(m+1)*(sinx)^(n-1)/(m+n)+(n-1)/(m+n)*I(m,n-2).

这里面其实是有两个公式的，先证明第一个公式。首先，我们能够应用cosx=cotx*sinx，把被积函数化为如下方式：

其中的(sinx)^(m+n-1)*cosxdx=1/(m+n)*d(sinx)^(m+n)，这完整是式子中的分母给的启示：

然后运用分部积分公式：

前面的分式就能够化成公式右侧的分式方式了，然后面的不定积分，把微分求出来：

最后的不定积分就是I(m-2,n)了。

再证第二个公式时，能够和上面同理，不外重复运算对老黄来说，太单调，所以老黄变个把戏。先应用(cosx)^mdx=-1/(m+1)* d(cosx)^(m+1)：

然后运用分部积分法：(这个公式十分重要，一定要控制)

再把后面的积分中微分部分求出来：

应用(cosx)^2=1-(sinx)^2，可化成下面的方式：

这是一个关于I(m,n)的方程，移项兼并同类项得：

分母能够约掉，然后化系数为一，就得到：

这就完成了对递推公式的证明。按下来解一道简单例题：

例：求∫(cosx)^2(sinx)^4dx.

我们有两个公式能够选择：

选择第一个公式得到：

后面的积分运用正弦的正整数幂公式，可处置：

选择第二个公式得到：(对比一下结果的优劣)

很明显，用这种措施并不能直接得到结果。所以还需求对后面的不定积分再次运用公式，这里省略掉这一步，直接写出结果是：

我们能够看到，处置这类问题，至少有两种措施，四种状况。这两种措施是分别应用公式对cosx或sinx中止降幂处置，不时降到0次幂，就能够运用正弦或余弦的正整数幂公式来处置；假如降到1次幂，就能够中止凑微分，化成关于正弦或余弦的幂函数的不定积分去处置。假如你喜欢，也能够对它们交错中止降幂，有点赛车道上开波浪线快车的觉得。

这类问题的变更很多的，上面所说的只是普通措施，细致的问题，可能需求用到细致的措施，好比下面这道练习题：

练习：求∫(cosx)^4*(cotx)^2dx.

它看起来似乎不属于这类问题，不外我们能够把它转化成这类问题：

能够看到，这里呈现了负指数，怎样办？没有关系，递推公式没有规则不能是负整数，因而还是运用公式。这里选择第一个公式，连化两次，得到：

往常m+n=0，不契合公式了，怎样办？其实这时被积函数能够化为余切(有时也可能是正切)的正整数幂的方式：

余切的平方的不定积分公式并不难记，直接运用起来。就算次数高，老黄上一篇文章也有分享过正切或余切的正整数幂的积分公式，直接运用就能够了。

本文的一切结果都曾经过老黄的检验，正确无误。那么你能自己推导出各种状况下的最终公式方式吗？