大道至简 讲述一个我们应知而未知的黎曼 大道至简源自老子的道家思想. 道, 即理论. 大道至简的含义就是最深邃的理论其实是最朴素的道理. 繁华落尽, 唯有至简方能久远. 就如读书, 初读从简到繁, 再读从繁到简, 直至了然于胸. 固然黎曼的贡献提高简直一切数学范畴, 但他在短暂的终身中未来得及系统地展开他的一切理论. 他的文章中看似简单的概念和哲学, 背地却是深化的思索和厚重的计算. 这也解释了为何他的思想能够历经百年而弥新, 逾越学科影响不减. 大道至简是黎曼的写照, 无论是他的数学, 还是他的终身. —— 译者注 作者 | 季理真, 丘成桐 译者 | 徐浩, 楼筱静 出自 | 《黎曼全集》(两卷本) 中文版序 8. 黎曼发表的文章和涵盖的课题 黎曼终身中发表的文章很少, 正式的只需 9 篇. 我们当然还能够算上他的博士论文和一篇向学术会议提交的论文. 如下是这 11 篇文章的清单: 1. Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer vernderlichen complexen Grsse (Inauguraldissertation, Gttingen, 1851). Foundations for a general theory of functions of a complex variable (Inaugural dissertation, Gttingen, 1851). 2. Ueber die Gesetze der Vertheilung von Spannungselectricitt in ponderabeln Krpern, wenn diese nicht als vollkommene Leiter oder Nichtleiter, sondern als dem Enthalten von Spannungselectricitt mit endlicher Kraft widerstrebend betrachtet werden (Amtlicher Bericht über die 31. Versammlung deutscher Naturforscher und Aerzte zu Gttingen im September 1854). About the laws of distribution of electric electricity in ponderable bodies, if these are not considered perfect conductors or insulators, rather than may be viewed as resisting the holding of electric charge with finite power (Official Report on the 31st meeting of German natural scientists and physicians to Gttingen in September 1854). 3. Zur Theorie der Nobili’schen Farbenringe (Annalen der Physik und Chemie, 95 (1855), 130–139). On the theory of Nobili’s color rings (Annals of Physics and Chemistry, 95 (1855), 130–139). 4. Beitrge zur Theorie der durch die Gauss’sche Reihe F(α, β, γ, x) darstellbaren Functionen (Abhandlungen der Kniglichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Gttingen, 7 (1857), 3–32). Contributions to the theory of represented by the Gaussian series F(α, β, γ, x) functions (Memoirs of the Royal Society of Sciences in Gttingen, 7 (1857), 3–32). 5. Selbstanzeige: Beitrge zur Theorie der durch die Gauss’sche Reihe F(α, β, γ, x) darstellbaren Functionen (Gttinger Nachrichten, 1857, 6–8). Voluntary disclosure: contributions to the theory of represented by the Gaussian series F(α, β, γ, x) functions (Gttingen News, 1857, 6–8). 6. Theorie der Abel’schen Functionen (Journal für die reine und angewandte Mathematik, 54 (1857), 101–155). Theory of Abelian functions (Crelle’s Journal, 54 (1857), 101–155). 7. Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grsse (Monatsberichte der Berliner Akademie, November 1859, 671–680). The number of primes below a given size (Monthly reports of the Berlin Academy, November 1859, 671–680). 8. Ueber die Fortpflanzung ebener Luftwellen von endlicher Schwingungsweite (Abhandlungen der Kniglichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Gttingen, 8 (1860), 43–65). Concerning propagation of plane air waves of finite amplitude (Memoirs of the Royal Society of Sciences in Gttingen, 8 (1860), 43–65). 9. Selbstanzeige: Ueber die Fortpflanzung ebener Luftwelen von endlicher Schwingungsweite (Gttinger Nachrichten, 1859, 192–197). Voluntary disclosure: concerning propagation of plane air waves of finite amplitude (Gttingen News, 1859, 192–197). 10. Ein Beitrag zu den Untersuchungen über die Bewegung eines flüssigen gleichartigen Ellipsoides (Abhandlungen der Kniglichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Gttingen, 9 (1860), 3–36). A contribution to the studies of the motion of a homogeneous liquid ellipsoid (Memoirs of the Royal Society of Sciences in Gttingen, 9 (1860), 3–36). 11. Ueber das Verschwinden der Theta-Functionen (Journal für die reine und angewandte Mathematik, 65 (1866), 161–172). About the vanishing of theta functions (Crelle’s Journal, 65 (1866), 161–172). 如下是 7 篇黎曼逝世后发表的文章, 来自于他的手稿和通讯. 12. Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe (Habilitationsschrift, 1854, Abhandlungen der Kniglichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Gttingen, 13 (1868)). Concerning the representability of a function by a trigonometric series (Habilitationsschrift, 1854, Memoirs of the Royal Society of Sciences in Gttingen, 13 (1868)). 13. Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen (Habilitationsschrift, 1854, Abhandlungen der Kniglichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Gttingen, 13 (1868)). On the Hypotheses which lie at the bases of Geometry (Habilitationsschrift, 1854, Memoirs of the Royal Society of Sciences in Gttingen, 13 (1868)). 14. Ein Beitrag zur Elektrodynamik (1858, Annalen der Physik und Chemie, 131(1867), 237–243). A contribution to electrodynamics (1858, Annals of Physics and Chemistry, 131 (1867), 237–243). 15. Beweis des Satzes, dass eine einwerthige mehr als 2nfach periodische Function von n Vernderlichen unmglich ist (26 October 1859, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 71 (1870), 197–200). A Proof of the proposition that a single-valued periodic function of n variables cannot be more than 2n-fold periodic (26 October 1859, Crelle’s Journal, 71 (1870), 197–200). 16. Estratto di una lettera scritta in lingua Italiana il di 21 Gennaio 1864 al Sig. Professore Enrico Betti (Annali di Matematica, 7 (Ser. 1, 1865), 281–283). Extract from a letter written in Italian on the day January 21, 1864 to Mr. Professor Enrico Betti (Annals of Mathematics, 7 (Ser. 1, 1865), 281–283). 17. Ueber die Flche vom kleinsten Inhalt bei gegebener Begrenzung (Abhandlungen der Kniglichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Gttingen, 13 (1868)). On the surface of least area with a given boundary (Memoirs of the Royal Society of Sciences in Gttingen, 13 (1868)). 18. Mechanik des Ohres (Aus Henle und Pfeuffer’s Zeitschrift für rationelle Medicin, dritte Reihe. Bd. 29). Mechanics of the ear (From Henle and Pfeuffer’s magazine for rational medicine, third vol. Vol. 29). 《黎曼全集》的各个版本都包含了更多的其他学者编辑整理的有关黎曼工 作的文章或注记. 在黎曼发表的 11 篇文章中, 其中 6 篇 (1, 4, 5, 6, 7, 11) 有关数学, 另 5 篇 (2, 3, 8, 9, 10) 有关物理. 在黎曼逝世后发表的文章中, 数学文章有 5 篇 (12, 13, 15, 16, 17), 只需一篇 (14) 是物理文章, 而另一篇 (18) 属于医学. 另一方面, 黎曼对许多学科都有贡献. 他所研讨的每个范畴都改动了其容颜 和人们的观念. 如下是他做出过重要贡献的课题: 1. 剖析: 积分理论与三角级数. 2. 单复变函数论. 3. 黎曼映照定理, 黎曼面单值化及其推行. 4. 黎曼面与复流形. 5. 黎曼面模空间与相关代数簇. 6. 代数曲线与代数簇的双有理几何. 7. Riemann-Roch定理与指标理论. 8. 曲面拓扑学与 Riemann-Hurwitz 公式. 9. 超几何函数及其推行. 10. 黎曼 zeta 函数与解析数论. 11. 黎曼几何与广义相对论. 12. 变分法, 特别是 Dirichlet 原理. 13. 偏微分方程: 激波. 14. 微分方程: Riemann-Hilbert 问题. 15. 单值群与 Riemann-Hilbert 对应. 16. 物理: 电动力学. 17. 物理: 平均液体椭球的运动. 18. 哲学. [Lau] 这本书包含了一些关于黎曼所创建的数学的展开, 但并未提及最新的 停顿. 由于黎曼的深化工作, 他的名字命名了许多数学名词: 1. 黎曼球面. 2. 黎曼面. 3. 黎曼模空间. 4. Cauchy-Riemann 方程. 5. 切向 Cauchy-Riemann 方程. 6. 切向 Cauchy-Riemann 复形. 7. 黎曼映照. 8. 可测黎曼映照定理. 9. 黎曼可去奇点定理或黎曼延拓定理. 10. 黎曼 theta 函数. 11. 黎曼消灭定理. 12. Riemann-Siegel theta 函数. 13. 黎曼双线性关系. 14. 黎曼方式. 15. 黎曼矩阵. 16. 关于 theta 除子的黎曼奇点定理. 17. Riemann-Hilbert 对应. 18. 黎曼 zeta 函数. 19. 黎曼 ξ 函数, 这是黎曼 zeta 函数的一种变形, 满足一个特别简单的函数 方程. 20. 黎曼假定. 21. 广义黎曼假定. 22. 大黎曼假定. 23. 黎曼用于计算素数的显式公式. 24. Riemann-Siegel 公式, 这是计算黎曼 zeta 函数近似误差的渐近公式. 25. 有关黎曼 zeta 函数零点散布的 Riemann-von Mangoldt 公式. 26. 研讨黎曼假定的谱理论措施的黎曼算子. 27. 定义在有限域上的曲线的黎曼假定. 28. 黎曼积分. 29. 黎曼可积性. 30. 黎曼和. 31. 广义黎曼积分. 32. Riemann-Stieltjes 积分. 33. 黎曼多重积分. 34. Riemann-Lebesgue 引理. 35. Riemann-Liouville 积分. 36. 黎曼级数定理. 37. Riemann-Hurwitz 公式. 38. Riemann-Roch 定理. 39. 算术 Riemann-Roch 定理. 40. 润滑流形的 Riemann-Roch 定理. 41. Grothendieck-Hirzebruch-Riemann-Roch 定理. 42. Hirzebruch-Riemann-Roch 定理. 43. Zariski-Riemann 空间. 44. 黎曼几何. 45. 黎曼流形. 46. 黎曼曲率张量, 也称黎曼张量. 47. Riemann-Cartan 几何. 48. 黎曼度量. 49. 黎曼距离. 50. 流形上向量丛的黎曼丛度量. 51. 黎曼联络. 52. 黎曼体积方式. 53. 黎曼几何基本定理. 54. 黎曼和乐群. 55. 黎曼子流形. 56. 黎曼淹没. 57. 次黎曼流形. 58. 伪黎曼流形. 59. 黎曼对称空间. 60. 伪黎曼对称空间. 61. 度量汇合中的黎曼圆周. 62. Riemann-Penrose 不等式. 63. Riemann-Hilbert 问题. 64. 黎曼初值问题. 65. 黎曼微分方程, 这是超几何微分方程的推行. 66. 关于紧致黎曼面分歧掩盖的黎曼存在性定理. 67. 黎曼极小曲面. 68. 守恒方程组的黎曼不变量. 69. 自由黎曼气体, 也称 primon 气体. 70. 黎曼解算子, 用于求解黎曼问题的一种数值措施. 71. 守恒方程初值解的黎曼问题. 72. Riemann-Silberstein 向量, 这是在电磁学中分离电场与磁场的一种复向量. 未完待续 、、、、、1 9. 黎曼工作概述一: 他最好的工作 10. 黎曼工作概述二: 一些不为人熟知或未知的工作 11. 从《黎曼全集》的前言和他人的评述看黎曼工作的影响 12. 从出色数学家们的准绳来看历史上最巨大的数学家 13. 阅读《黎曼全集》的收获
参考文献 [Lau] D. Laugwitz, Bernhard Riemann 1826–1866. Turning Points in the Conception of Mathematics, Birkh¨auser Boston, Inc., Boston, MA, 2008. |
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